Записывать величину в стандартном виде. Стандартная форма записи числа, мантисса числа, порядок числа

Число в стандартном виде – Физика

Записывать величину в стандартном виде. Стандартная форма записи числа, мантисса числа, порядок числа

Перейти Часто при записи очень больших и малых чисел используют определенный тип записи, который позволяет эти числа записывать в более кратком и понятном виде. Обычно подобные записи используют в научных расчетах, так как с ними удобнее работать. Примеры таких записей можно посмотреть в конце страницы.

Стандартным видом положительного числа «a называют его представление в виде:

m – порядок действительного числа a.

Любое число может быть приведено к стандартному виду.

[custom_ads_shortcode1]

Примечание

Нули, которые стоят в конце десятичной дроби можно удалить. Нельзя удалять нули, которые расположены не в конце десятичной дроби.

Например, нужно записать расстояние от Земли до Солнца. Оно равно 150 000 000 000 метров. В таком количестве нулей легко запутаться, особенно при расчетах. Поэтому, эту величину проще записать в виде:

Такая запись числа возможна благодаря свойствам действий над числами.

10 – это число 10, умноженное само на себя 11 раз.

Отсюда: Воспользовавшись правилом умножения десятичных дробей, получим:

В данном примере было рассмотрено очень большое число.

Диаметр молекулы воды равен 0,0000000003 м. В количестве нулей также очень легко запутаться. Поэтому эту величину записывают в виде: Такая запись числа возможна благодаря свойствам действий над числами.

None По определению десятичной дроби:

Воспользовавшись правилом умножения десятичных дробей, получим:

Такая запись чисел называется стандартным видом числа.

Go to TopЭтот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности ПринятьPrivacy & Cookies Policy

Стандартный вид числа – это запись числа в виде произведения:

x · 10nгде 1 ⩽ x < 10, n – целое число.

С помощью целых показателей степени числа 10 можно записывать очень большие и очень маленькие числа в стандартном виде, то есть громоздкие записи заменять краткими. Рассмотрим несколько примеров записи чисел в стандартном виде:

56000 = 5,6 · 10314,7 = 3,147 · 1025400000000 = 5,4 · 1090,00038 = 3,8 · 10-4Обратите внимание, что в стандартном виде число, которое умножается на 10 в какой-либо степени, всегда должно быть больше или равно единице и меньше десяти. Следовательно, если мы перепишем наши примеры так:

56000 = 56 · 10314,7 = 0,3147 · 1035400000000 = 540 · 1070,00038 = 38 · 10-5то записи чисел хоть и будут выглядеть похожими на стандартный вид, но к числам в стандартном виде они не будут иметь никакого отношения.

Любое однозначное число в стандартном виде представляет собой произведение самого себя на 10 в нулевой степени:

1 = 1 · 10        6 = 6 · 10
2 = 2 · 107 = 7 · 10
3 = 3 · 108 = 8 · 10
4 = 4 · 109 = 9 · 10
5 = 5 · 10

Число 10 в стандартном виде равно произведению единицы на 10 в первой степени: 10 = 1 · 101Примечание: число 0 нельзя представить в стандартном виде.

Пример. Запишите число в стандартном виде:

Решение:

1) 2400 = 2,4 · 105) 38 = 3,8 · 10
2) 8600 = 8,6 · 106) 387 = 3,87 · 10
3) 0,00019 = 1,9 · 107) 1280000 = 1,28 · 10
4) 37000000 = 3,7 · 10        8) 2370000 = 2,37 · 10

Любое рациональное число может быть представлено в виде:

Стандартная, она же научная форма записи числа. Порядок величины. Разница на порядок.
умножить на.
Эта часть записи называется Мантиссой числа в стандартной (научной) форме.А эта часть называется Порядком числа в стандартной (научной) форме.
  • Пример 1: Число 7984 в стандартной форме записывается как 7,984*10 , где 7,984 – мантисса а 10 – порядок.
  • Пример 2 : Величины 890 и 45932, записанные в стандартной форме выглядят как: 8,9*10 и 4,5932*10 и отличаются на 2 порядка = имеют разницу в 2 порядка. Числа 7,5 и 75 различаются на порядок ( на 1 порядок) = имеют разницу в 1 порядок, что бы там в телевизоре не думали. И так далее…
  • Очевидно, что при сложении и вычитании чисел записанных в стандартной форме и имеющих один порядок, достаточно сложить или вычесть мантиссы.
    • Пример 3: 7,2*10 + 1,2*10= (7,2+ 1,2)*10=8,4*10
  • Единственный способ корректно сложить или вычесть числа разных порядков – это выразить одно из них в нестандартной форме:
    • Пример 4: 9,9*10 + 9,9*10=9,9*10 + 0,99*10= (9,9+ 0,99)*10=10,89*10=1,089*10
  • Очень удобно проводить операции умножения и деления с числами, записанными в стандартной форме, пользуясь правилами действий со степенями:
    • Пример 5: 4,0*10x 2,25*10=(4,0×2,25)x(10)= 9,0*10
    • Пример 6: 5,0*10 /2,5*10=(5,0/2,5)x(10)= 2,0*10

И теперь, если уж Вы дочитали до этого места, самое главное – зачем это придумано: попробуйте сравнить на глаз числа 970984567234109879 и 1211121111211121112125? Впечатляет? А попробуйте их же в стандартном виде: 9,70984567234109879*10 и 1,211121111211121112125*10.

Понятно, что первое на 4 порядка меньше? Понятно, что величина первого по отношению ко второму ниже, чем точность большинства расчетных моделей? Понятно, что в большинстве практических случаев первую величину вообще не следует брать в расчет, если вклад величин в процесс пропорционален? Понятно, что изменение второй величины на 10% значительно превосходит изменение первой в 3 раза? и т.д.

Просто, оказывается, инженеры их жены и дети так устроены, что с этими числами очень удобно работать.

Стандартный вид числа Любая десятичная дробь может быть записана в виде a,bc… · 10k. Такие записи часто встречается в научных расчетах. Считается, что работать с ними еще удобнее, чем с обычной десятичной записью.

Сегодня мы научимся приводить к такому виду любую десятичную дробь. Заодно убедимся, что подобная запись — это уже «перебор», и никаких преимуществ в большинстве случаев она не дает.

Для начала — небольшое повторение. Как известно, десятичные дроби можно умножать не только между собой, но и на обычные целые числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»).

Особый интерес представляет умножение на степени десятки. Взгляните:

Задача. Найдите значение выражения: 25,81 · 10; 0,00005 · 1000; 8,0034 · 100. Умножение выполняется по стандартной схеме, с выделением значащей части у каждого множителя. Кратко опишем эти шаги:

Для первого выражения: 25,81 · 10.

  1. Значащие части: 25,81 → 2581 (сдвиг вправо на 2 цифры); 10 → 1 (сдвиг влево на 1 цифру);

  2. Умножаем: 2581 · 1 = 2581;

  3. Суммарный сдвиг: вправо на 2 − 1 = 1 цифру. Выполняем обратный сдвиг: 2581 → 258,1. Для второго выражения: 0,00005 · 1000.

  1. Значащие части: 0,00005 → 5 (сдвиг вправо на 5 цифр); 1000 → 1 (сдвиг влево на 3 цифры);

  2. Умножаем: 5 · 1 = 5;

  3. Суммарный сдвиг: вправо на 5 − 3 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 5 → ,05 = 0,05. Последнее выражение: 8,0034 · 100.

  1. Значащие части: 8,0034 → 80 034 (сдвиг вправо на 4 цифры); 100 → 1 (сдвиг влево на 2 цифры);

  2. Умножаем: 80 034 · 1 = 80 034;

  3. Суммарный сдвиг: вправо на 4 − 2 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 80 034 → 800,34. Давайте немного перепишем исходные примеры и сравним их с ответами:

  1. 25,81 · 10 = 258,1;

  2. 0,00005 · 10 = 0,05;

  3. 8,0034 · 10 = 800,34.

Что происходит? Оказывается, умножение десятичной дроби на число 10k (где k 0) равносильно сдвигу десятичной точки вправо на k разрядов. Именно вправо — ведь число увеличивается.

Аналогично, умножение на 10−k (где k 0) равносильно делению на 10k, т.е. сдвигу на k разрядов влево, что приводит к уменьшению числа. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения: 2,73 · 10; 25,008 : 10; 1,447 : 100; Во всех выражениях второе число — степень десятки, поэтому имеем:

  1. 2,73 · 10 = 2,73 · 10 = 27,3;

  2. 25,008 : 10 = 25,008 : 10 = 25,008 · 10 = 2,5008;

  3. 1,447 : 100 = 1,447 : 10 = 1,447 · 10 = ,01447 = 0,01447.

Отсюда следует, что одну и ту же десятичную дробь можно записать бесконечным числом способов. Например: 137,25 = 13,725 · 10 = 1,3725 · 10 = 0,13725 · 10 = …

Стандартный вид числа — это выражения вида a,bc… · 10k, где a, b, c, … — обычные цифры, причем a ≠ 0. Число k — целое.

Примеры:

  1. 8,25 · 10 = 82 500;

  2. 3,6 · 10 = 0,036;

  3. 1,075 · 10 = 1 075 000;

  4. 9,8 · 10 = 0,0000098.

Для каждого числа, записанного в стандартном виде, рядом указана соответствующая десятичная дробь.

Источники:

  • mathvox.ru
  • naobumium.info
  • dpva.ru
  • videouroki.net

Источник: https://fizikinfo.ru/drugoe/chislo-v-standartnom-vide/

Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой

Записывать величину в стандартном виде. Стандартная форма записи числа, мантисса числа, порядок числа

В далекие времена, для IT-индустрии это 70-е годы прошлого века, ученые-математики (так раньше назывались программисты) сражались как Дон-Кихоты в неравном бою с компьютерами, которые тогда были размером с маленькие ветряные мельницы.

Задачи ставились серьезные: поиск вражеских подлодок в океане по снимкам с орбиты, расчет баллистики ракет дальнего действия, и прочее. Для их решения компьютер должен оперировать действительными числами, которых, как известно, континуум, тогда как память конечна. Поэтому приходится отображать этот континуум на конечное множество нулей и единиц.

В поисках компромисса между скоростью, размером и точностью представления ученые предложили числа с плавающей запятой (или плавающей точкой, если по-буржуйски). Арифметика с плавающей запятой почему-то считается экзотической областью компьютерных наук, учитывая, что соответствующие типы данных присутствуют в каждом языке программирования.

Я сам, если честно, никогда не придавал особого значения компьютерной арифметике, пока решая одну и ту же задачу на CPU и GPU получил разный результат.

Оказалось, что в потайных углах этой области скрываются очень любопытные и странные явления: некоммутативность и неассоциативность арифметических операций, ноль со знаком, разность неравных чисел дает ноль, и прочее. Корни этого айсберга уходят глубоко в математику, а я под катом постараюсь обрисовать лишь то, что лежит на поверхности.

1. Основы

Множество целых чисел бесконечно, но мы всегда можем подобрать такое число бит, чтобы представить любое целое число, возникающее при решении конкретной задачи. Множество действительных чисел не только бесконечно, но еще и непрерывно, поэтому, сколько бы мы не взяли бит, мы неизбежно столкнемся с числами, которые не имеют точного представления.

Числа с плавающей запятой — один из возможных способов предсталения действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных разрядов, условно разделенных на знак, экспоненту порядок и мантиссу.

Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

Математически это записывается так:

(-1)s × M × BE, где s — знак, B-основание, E — порядок, а M — мантисса.

Основание определяет систему счисления разрядов. Математически доказано, что числа с плавающей запятой с базой B=2 (двоичное представление) наиболее устойчивы к ошибкам округления, поэтому на практике встречаются только базы 2 и, реже, 10. Для дальнейшего изложения будем всегда полагать B=2, и формула числа с плавающей запятой будет иметь вид:

(-1)s × M × 2E

Что такое мантисса и порядок? Мантисса – это целое число фиксированной длины, которое представляет старшие разряды действительного числа. Допустим наша мантисса состоит из трех бит (|M|=3). Возьмем, например, число «5», которое в двоичной системе будет равно 1012.

Старший бит соответствует 22=4, средний (который у нас равен нулю) 21=2, а младший 20=1. Порядок – это степень базы (двойки) старшего разряда. В нашем случае E=2. Такие числа удобно записывать в так называемом «научном» стандартном виде, например «1.01e+2».

Сразу видно, что мантисса состоит из трех знаков, а порядок равен двум.

Допустим мы хотим получить дробное число, используя те же 3 бита мантиссы. Мы можем это сделать, если возьмем, скажем, E=1. Тогда наше число будет равно

1,01e+1 = 1×21+0×20+1×2-1=2+0,5=2,5

Здесь, поскольку E=1, степень двойки первого разряда (который идет перед запятой), равна «1». Два других разряда, расположенных правее (после запятой), обеспечивают вклад 2E-1 и 2E-2 (20 и 2-1 соответственно). Очевидно, что регулируя E одно и то же число можно представить по-разному. Рассмотрим пример с длиной мантиссы |M|=4. Число «2» можно представить в следующем виде:

2 = 10 (в двоичной системе) = 1.000e+1 = 0.100e+2 = 0.010e+3. (E=1, E=2, E=3 соответственно)

Обратите внимание, что одно и то же число имеет несколько представлений. Это не удобно для оборудования, т.к. нужно учитывать множественность представлния при сравнении чисел и при выполнении над ними арифметических операций.

Кроме того, это не экономично, поскольку число представлений — конечное, а повторения уменьшают множество чисел, которые вообще могут быть представлены. Поэтому уже в самых первых машинах начали использовать трюк, делая первый бит мантиссы всегда положительным.

Такое предаставление назвали нормализованным.

Это экономит один бит, так как неявную единицу не нужно хранить в памяти, и обеспечивает уникальность представления числа. В нашем примере «2» имеет единственное нормализованное представление («1.000e+1»), а мантисса хранится в памяти как «000», т.к. старшая единица подразумевается неявно. Но в нормализованном представлении чисел возникает новая проблема — в такой форме невозможно представить ноль. Строго говоря, нормализованное число имеет следующий вид:

(-1)s × 1.M × 2E.

Качество решения задач во многом зависит от выбора представления чисел с плавающей запятой. Мы плавно подошли к проблеме стандартизации такого представления.

2. Немного истории

В 60-е и 70-е годы не было единого стандарта представления чисел с плавающей запятой, способов округления, арифметических операций. В результате программы были крайне не портабельны. Но еще большей проблемой было то, что у разных компьютеров были свои «странности» и их нужно было знать и учитывать в программе.

Например, разница двух не равных чисел возвращала ноль. В результате выражения «X=Y» и «X-Y=0» вступали в противоречие. Умельцы обходили эту проблему очень хитрыми трюками, например, делали присваивание «X=(X-X)+X» перед операциями умножения и деления, чтобы избежать проблем.

Инициатива создать единый стандарт для представления чисел с плавающей запятой подозрительно совпала с попытками в 1976 году компанией Intel разработать «лучшую» арифметику для новых сопроцессоров к 8086 и i432. За разработку взялись ученые киты в этой области, проф. Джон Палмер и Уильям Кэхэн.

Последний в своем интервью высказал мнение, что серьезность, с которой Intel разрабатывала свою арифметику, заставила другие компании объединиться и начать процесс стандартизации. Все были настроены серьезно, ведь очень выгодно продвинуть свою архитектуру и сделать ее стандартной. Свои предложения представили компании DEC, National Superconductor, Zilog, Motorola.

Производители мейнфреймов Cray и IBM наблюдали со стороны. Компания Intel, разумеется, тоже представила свою новую арифметику. Авторами предложенной спецификации стали Уильям Кэхэн, Джероми Кунен и Гарольд Стоун и их предложение сразу прозвали «K-C-S». Практически сразу же были отброшены все предложения, кроме двух: VAX от DEC и «K-C-S» от Intel.

Спецификация VAX была значительно проще, уже была реализована в компьютерах PDP-11, и было понятно, как на ней получить максимальную производительность. С другой стороны в «K-C-S» содержалось много полезной функциональности, такой как «специальные» и «денормализованные» числа (подробности ниже).

В «K-C-S» все арифметические алгоритмы заданы строго и требуется, чтобы в реализации результат с ними совпадал. Это позволяет выводить строгие выкладки в рамках этой спецификации. Если раньше математик решал задачу численными методами и доказывал свойства решения, не было никакой гарантии, что эти свойства сохранятся в программе.

Строгость арифметики «K-C-S» сделала возможным доказательство теорем, опираясь на арифметику с плавающей запятой. Компания DEC сделала все, чтобы ее спецификацию сделали стандартом. Она даже заручилась поддержкой некоторых авторитетных ученых в том, что арифметика «K-C-S» в принципе не может достигнуть такой же производительности, как у DEC.

Ирония в том, что Intel знала, как сделать свою спецификацию такой же производительной, но эти хитрости были коммерческой тайной. Если бы Intel не уступила и не открыла часть секретов, она бы не смогла сдержать натиск DEC.

Подробнее о баталиях при стандартизации смотрите в интервью профессора Кэхэна, а мы рассмотрим, как выглядит представление чисел с плавающей запятой сейчас.

3. Представление чисел с плавающей запятой сегодня

Разработчики «K-C-S» победили и теперь их детище воплотилось в стандарт IEEE754. Числа с плавающей запятой в нем представлены в виде знака (s), мантиссы (M) и порядка (E) следующим образом:

(-1)s × 1.M × 2E

Замечание. В новом стандарте IEE754-2008 кроме чисел с основанием 2 присутствуют числа с основанием 10, так называемые десятичные (decimal) числа с плавающей запятой.

Чтобы не загромождать читателя чрезмерной информацией, которую можно найти в Википедии, рассмотрим только один тип данных, с одинарной точностью (float).

Числа с половинной, двойной и расширенной точностью обладают теми же особенностями, но имеют другой диапазон порядка и мантиссы. В числах одинарной точности (float/single) порядок состоит из 8 бит, а мантисса – из 23.

Эффективный порядок определяется как E-127. Например, число 0,15625 будет записано в памяти как

Рисунок взят из Википедии В этом примере:

  • Знак s=0 (положительное число)
  • Порядок E=011111002-12710 = -3
  • Мантисса M = 1.012 (первая единица не явная)
  • В результате наше число F = 1.012e-3 = 2-3+2-5 = 0,125 + 0,03125 = 0,15625

Чуть более подробное объяснениеЗдесь мы имеем дело с двоичным представлением числа «101» со сдвигом запятой на несколько разрядов влево. 1,01 — это двоичное представление, означающее 1×20 + 0×2-1 + 1×2-2. Сдвинув запятую на три позиции влево получим 1,01e-3 = 1×2-3 + 0×2-4 + 1×2-5 = 1×0,125 + 0×0,0625 + 1×0,03125 = 0,125 + 0,03125 = 0,15625.

3.1 Специальные числа: ноль, бесконечность и неопределенность

В IEEE754 число «0» представляется значением с порядком, равным E=Emin-1 (для single это -127) и нулевой мантиссой. Введение нуля как самостоятельного числа (т.к. в нормализованном представлении нельзя представить ноль) позволило избежать многих странностей в арифметике. И хоть операции с нулем нужно обрабатывать отдельно, обычно они выполняются быстрее, чем с обычными числами.

Также в IEEE754 предусмотрено представление для специальных чисел, работа с которыми вызывает исключение. К таким числам относится бесконечность (±∞) и неопределенность (NaN). Эти числа позволяет вернуть адекватное значение при переполнении. Бесконечности представлены как числа с порядком E=Emax+1 и нулевой мантиссой.

Получить бесконечность можно при переполнении и при делении ненулевого числа на ноль. Бесконечность при делении разработчики определили исходя из существования пределов, когда делимое и делитель стремиться к какому-то числу. Соответственно, c/0==±∞ (например, 3/0=+∞, а -3/0=-∞), так как если делимое стремиться к константе, а делитель к нулю, предел равен бесконечности.

При 0/0 предел не существует, поэтому результатом будет неопределенность.

Неопределенность или NaN (от not a number) – это представление, придуманное для того, чтобы арифметическая операция могла всегда вернуть какое-то не бессмысленное значение.

В IEEE754 NaN представлен как число, в котором E=Emax+1, а мантисса не нулевая. Любая операция с NaN возвращает NaN. При желании в мантиссу можно записывать информацию, которую программа сможет интерпретировать.

Стандартом это не оговорено и мантисса чаще всего игнорируется.

Как можно получить NaN? Одним из следующих способов:

  • ∞+(- ∞)
  • 0 × ∞
  • 0/0, ∞/∞
  • sqrt(x), где x

Источник: https://habr.com/ru/post/112953/

Стандартный вид числа

Записывать величину в стандартном виде. Стандартная форма записи числа, мантисса числа, порядок числа

21 августа 2011

Любая десятичная дробь может быть записана в виде a,bc… · 10k. Такие записи часто встречается в научных расчетах. Считается, что работать с ними еще удобнее, чем с обычной десятичной записью.

Сегодня мы научимся приводить к такому виду любую десятичную дробь. Заодно убедимся, что подобная запись — это уже «перебор», и никаких преимуществ в большинстве случаев она не дает.

Для начала — небольшое повторение. Как известно, десятичные дроби можно умножать не только между собой, но и на обычные целые числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»). Особый интерес представляет умножение на степени десятки. Взгляните:

Задача. Найдите значение выражения: 25,81 · 10; 0,00005 · 1000; 8,0034 · 100.

Умножение выполняется по стандартной схеме, с выделением значащей части у каждого множителя. Кратко опишем эти шаги:

Для первого выражения: 25,81 · 10.

  1. Значащие части: 25,81 → 2581 (сдвиг вправо на 2 цифры); 10 → 1 (сдвиг влево на 1 цифру);
  2. Умножаем: 2581 · 1 = 2581;
  3. Суммарный сдвиг: вправо на 2 − 1 = 1 цифру. Выполняем обратный сдвиг: 2581 → 258,1.

Для второго выражения: 0,00005 · 1000.

  1. Значащие части: 0,00005 → 5 (сдвиг вправо на 5 цифр); 1000 → 1 (сдвиг влево на 3 цифры);
  2. Умножаем: 5 · 1 = 5;
  3. Суммарный сдвиг: вправо на 5 − 3 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 5 → ,05 = 0,05.

Последнее выражение: 8,0034 · 100.

  1. Значащие части: 8,0034 → 80 034 (сдвиг вправо на 4 цифры); 100 → 1 (сдвиг влево на 2 цифры);
  2. Умножаем: 80 034 · 1 = 80 034;
  3. Суммарный сдвиг: вправо на 4 − 2 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 80 034 → 800,34.

Давайте немного перепишем исходные примеры и сравним их с ответами:

  1. 25,81 · 101 = 258,1;
  2. 0,00005 · 103 = 0,05;
  3. 8,0034 · 102 = 800,34.

Что происходит? Оказывается, умножение десятичной дроби на число 10k (где k > 0) равносильно сдвигу десятичной точки вправо на k разрядов. Именно вправо — ведь число увеличивается.

Аналогично, умножение на 10−k (где k > 0) равносильно делению на 10k, т.е. сдвигу на k разрядов влево, что приводит к уменьшению числа. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения: 2,73 · 10; 25,008 : 10; 1,447 : 100;

Во всех выражениях второе число — степень десятки, поэтому имеем:

  1. 2,73 · 10 = 2,73 · 101 = 27,3;
  2. 25,008 : 10 = 25,008 : 101 = 25,008 · 10−1 = 2,5008;
  3. 1,447 : 100 = 1,447 : 102 = 1,447 · 10−2 = ,01447 = 0,01447.

Отсюда следует, что одну и ту же десятичную дробь можно записать бесконечным числом способов. Например: 137,25 = 13,725 · 101 = 1,3725 · 102 = 0,13725 · 103 = …

Стандартный вид числа — это выражения вида a,bc… · 10k, где a, b, c, … — обычные цифры, причем a ≠ 0. Число k — целое.

Примеры:

  1. 8,25 · 104 = 82 500;
  2. 3,6 · 10−2 = 0,036;
  3. 1,075 · 106 = 1 075 000;
  4. 9,8 · 10−6 = 0,0000098.

Для каждого числа, записанного в стандартном виде, рядом указана соответствующая десятичная дробь.

Переход к стандартному виду

Алгоритм перехода от обычной десятичной дроби к стандартному виду очень прост. Но перед тем как его использовать, обязательно повторите, что такое значащая часть числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»). Итак, алгоритм:

  1. Выписать значащую часть исходного числа и поставить после первой значащей цифры десятичную точку;
  2. Найти образовавшийся сдвиг, т.е. на сколько разрядов сместилась десятичная точка по сравнению с исходной дробью. Пусть это будет число k;
  3. Сравнить значащую часть, которую мы выписали на первом шаге, с исходным числом. Если значащая часть (с учетом десятичной точки) меньше исходного числа, дописать множитель 10k. Если больше — дописать множитель 10−k. Это выражение и будет стандартным видом.

Задача. Запишите число в стандартном виде:

  1. 9280;
  2. 125,05;
  3. 0,0081;
  4. 17 000 000;
  5. 1,00005.
  1. 9280 → 9,28. Сдвиг десятичной точки на 3 разряда влево, число уменьшилось (очевидно, 9,28 < 9280). Результат: 9,28 · 103;
  2. 125,05 → 1,2505. Сдвиг — на 2 разряда влево, число уменьшилось (1,2505 < 125,05). Результат: 1,2505 · 102;
  3. 0,0081 → 8,1. В этот раз сдвиг произошел вправо на 3 разряда, поэтому число увеличилось (8,1 > 0,0081). Результат: 8,1 · 10−3;
  4. 17000000 → 1,7. Сдвиг — на 7 разрядов влево, число уменьшилось. Результат: 1,7 · 107;
  5. 1,00005 → 1,00005. Сдвига нет, поэтому k = 0. Результат: 1,00005 · 100 (бывает и такое!).

Как видите, в стандартном виде представляются не только десятичные дроби, но и обычные целые числа. Например: 812 000 = 8,12 · 105; 6 500 000 = 6,5 · 106.

Когда применять стандартную запись

По идее, стандартная запись числа должна сделать дробные вычисления еще проще. Но на практике заметный выигрыш получается только при выполнении операции сравнения. Потому что сравнение чисел, записанных в стандартном виде, выполняется так:

  1. Сравнить степени десятки. Наибольшим будет то число, у которого эта степень больше;
  2. Если степени одинаковые, начинаем сравнивать значащие цифры — как в обычных десятичных дробях. Сравнение идет слева направо, от старшего разряда к младшему. Наибольшим будет то число, в котором очередной разряд окажется больше;
  3. Если степени десятки равны, а все разряды совпадают, то сами дроби тоже равны.

Разумеется, все это верно только для положительных чисел. Для отрицательных чисел все знаки меняются на противоположные.

Замечательно свойство дробей, записанных в стандартном виде, заключается в том, что к их значащей части можно приписывать любое количество нулей — как слева, так и справа. Аналогичное правило существует для других десятичных дробей (см. урок «Десятичные дроби»), но там есть свои ограничения.

Задача. Сравните числа:

  1. 8,0382 · 106 и 1,099 · 1025;
  2. 1,76 · 103 и 2,5 · 10−4;
  3. 2,215 · 1011 и 2,64 · 1011;
  4. −1,3975 · 103 и −3,28 · 104;
  5. −1,0015 · 10−8 и −1,001498 · 10−8.
  1. 8,0382 · 106 и 1,099 · 1025. Оба числа положительные, причем у первого степень десятки меньше, чем у второго (6 < 25). Значит, 8,0382 · 106 < 1,099 · 1025;
  2. 1,76 · 103 и 2,5 · 10−4. Числа снова положительные, причем степень десятки у первого из них больше, чем у второго (3 > −4). Следовательно, 1,76 · 103 > 2,5 · 10−4;
  3. 2,215 · 1011 и 2,64 · 1011. Числа положительные, степени десятки совпадают. Смотрим на значащую часть: первые цифры тоже совпадают (2 = 2). Различие начинается на второй цифре: 2 < 6, поэтому 2,215 · 1011 < 2,64 · 1011;
  4. −1,3975 · 103 и −3,28 · 104. Это отрицательные числа. У первого степень десятки меньше (3 < 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 103 > −3,28 · 104;
  5. −1,0015 · 10−8 и −1,001498 · 10−8. Снова отрицательные числа, причем степени десятки совпадают. Также совпадают и первые 4 разряда значащей части (1001 = 1001). На 5 разряде начинается отличие, а именно: 5 > 4. Поскольку исходные числа отрицательные, заключаем: −1,0015 · 10−8 < −1,001498 · 10−8.

Источник: https://www.berdov.com/docs/fraction/standard_form/

Что на порядок больше чем. Стандартная форма записи числа, мантисса числа, порядок числа

Записывать величину в стандартном виде. Стандартная форма записи числа, мантисса числа, порядок числа

Положительное число, записанное в стандартной форме, имеет вид

Число m является натуральным числом или десятичной дробью , удовлетворяет неравенству

и называется мантиссой числа, записанного в стандартной форме.

Число n является целым числом (положительным, отрицательным или нулем) и называется порядком числа, записанного в стандартной форме.

Например, число 3251 в стандартной форме записывается так:

Здесь число 3,251 является мантиссой, а число 3 является порядком.

Стандартная форма записи числа часто используется в научных расчетах и очень удобна для сравнения чисел.

Для того, чтобы сравнить два числа, записанных в стандартной форме, нужно сначала сравнить их порядки. Большим будет то число, порядок которого больше. Если же порядки сравниваемых чисел одинаковы, то нужно сравнить мантиссы чисел. Большим в этом случае будет то число, у которого мантисса больше.

Например, если сравнить между собой записанные в стандартной форме числа

и ,

то, очевидно, первое число больше второго, поскольку у него порядок больше.

Если же сравнить между собой числа

то, очевидно, что второе число больше, чем первое, поскольку порядки у этих чисел совпадают, а мантисса у второго числа больше.

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Порядок (математика)

Порядок в широком смысле слова – гармоничное, ожидаемое, предсказуемое состояние или расположение чего-либо.

Специализированные варианты использования слова:

Математика

  • Порядок величины – количество цифр в числе. О двух величинах говорят, что они одного порядка, если отношение большего к меньшему из них меньше 10. Таким образом, выражение “на порядок больше/меньше” означает “в 10 раз больше/меньше”.
  • Порядок может использоваться при классификации объектов и часто определяется максимальным значением некоторой характеристики объекта: например, уравнения первого порядка, кривые второго порядка, многочлен порядка n и т. д.
  • Отношение порядка на множествах.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое “Порядок (математика)” в других словарях:

    Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия

    Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

    Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

    Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия

    Кипукамайок из книги Гуамана Пома де Айяла «Первая Новая Хроника и Доброе Правление». Слева у ног кипукамайока юпана, содержащая вычисления священного числа для песни «Сумак Ньюста» (в оригинале рукописи рисунок не цветной, а чёрно белый;… … Википедия

    Теория групп … Википедия

    В данной таблице представлен список эпизодов американского телесериала «Закон и порядок». Первая серия была показана 13 сентября 1990 года на канале NBC. На данный момент вышло 20 сезонов сериала. Всего снято 456 эпизода. В 2010 году сериал… … Википедия

    – (порядок точности численного метода, степень точности численного метода, порядок точности, степень точности) наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи. Другое определение: говорят, что численный… … Википедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

Книги

  • Математика. 6 класс. Рабочая тетрадь. В 4 частях. Часть 3 , В. В. Козлов, А. А. Никитин, В. С. Белоносов, А. А. Мальцев, А. С. Марковичев, Ю. В. Михеев, М. В. Фокин. Четыре рабочие тетради по математике входят в состав учебно-методического комплекта “Математика. 6 класс” .

    В тетрадях представлен обширный дидактический материал, дополняющий и углубляющий…

  • Математика. 6 класс. Рабочая тетрадь. В 4 частях. Часть 1 , . Четыре рабочие тетради по математике входят в состав учебно-методического комплекта “Математика. 5 класс” .

    В тетрадях представлен обширный дидактический материал, дополняющий и углубляющий…

Часто говорят «на порядок больше», «на порядок меньше» или даже «больше/меньше на несколько порядков».

Интуитивно понятно, что «на порядок больше» означает «сильно больше», «значительно больше» – но вот хотелось бы знать, на сколько именно? Если прочитаете эту статью, будете знать точно.

Любое действительное число… Простите… Возможно, не все помнят, что это такое. А знаете – неважно. Как сказал дядюшка Мерфи: «Если вы не понимаете какой-либо термин в технической статье или документации, смело его пропускайте – статья полностью сохранит свой смысл и без этого термина».

Итак, попробуем ещё раз: любое число Х, кроме нуля, можно представить в виде
Х = Mantissa * 10 Exponenta,то есть «мантисса, помноженная на десять в степени экспонента», где
мантисса – это число, по модулю (то есть, без знака), не меньшее единицы и меньшее десяти, а
экспонента – любое целое число (… –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, …).
Ну просто эти числа так называют: одно – мантиссой, другое – экспонентой. Не нужно сильно на этом «зависать», едем дальше.

Ноль, кстати, невозможно записать таким способом, потому что мантисса, по определению, не ноль, а десятку в какую целую степень ни возводи, всё равно получится число, большее ноля, а произведение двух чисел, не равных нулю, не равно нулю.

Например, 1024 = 1.024 * 103 –3.14 = –3.14 * 100

1″000″000 = 1 * 106

Такой вид записи числа называют научным или стандартным. Он удобен, например, тем, что числа, записанные в такой нотации, удобно сравнивать: если числа имеют один и тот же знак (оба положительные или оба отрицательные), то сначала сравниваются экспоненты, и только потом, если экспоненты равны, сравниваются мантиссы.

И вот тут-то мы и подходим к ответу на вопрос, что значит «на порядок больше». Другое, более русское, название экспоненты – «порядок». Число 256 – число второго порядка, потому что 256 = 2.56 * 102.

Миллион – число шестого порядка, миллиард – девятого.

Вообще-то, 1024 ровно в 4 раза больше числа 256, но если необходимо просто определить, какое из них больше, вполне достаточно констатировать, что первое на порядок больше второго.

Подумаешь, скажете вы, открыл Америку! И так понятно: смотрим, какое число «длиннее» – то и больше! В общем – да. Интуитивно данное понятие уже входило в круг ваших понятий, в этой статье мы просто оформили их и придали им большую чёткость.

Ещё парочка примеров: пять миллиардов на три порядка больше семи миллионов;

скорость чтения/записи данных на жёсткий диск (миллисекунды, 10(–3)) на три порядка меньше скорости доступа к оперативной памяти (микросекунды, 10(–6)).

Вот, в первом приближении, и всё. Теперь вы можете с уверенностью щеголять этим термином. Или просто употреблять его грамотно и к месту. Последнее, пожалуй, предпочтительнее.

Почему «в первом приближении»? Хм… Есть довольно известная в кругах программистов шутка: для программиста «на порядок» означает «в два раза». Почему в два? Мы же только что рассказали, что «на порядок» – это «в десять раз»? Как вам сказать… Есть один нюанс. Но это уже тема другого разговора.

Школа Жизни

Другие новости по теме:

Натуральными числами называются числа, которые появились в результате счета. Числа один, два, три, четыре и так дальше, являются натуральными. Отрицательные и дробные числа не принадлежат к натуральным числам. Ноль, чаще всего, не принято считать натуральным числом. Натуральные числа – это числа,

Преобразования чисел – одни из наиболее важных в математике операций. Для решения той или иной задачи нам может потребоваться представить число в нужном виде. Причем список задач практически ничем не ограничен – это может быть как физическая задача, так и произвольное уравнение. Вам понадобится

Возникновение понятия действительного числа обусловлено практическим использованием математики для выражения с помощью определенного числа значения любой величины, а также внутренним расширением математики. Спонсор размещения P&G Статьи по теме “Что такое действительные числа” Как вычислять

Натуральные числа – это числа, которые возникают при счете, нумерации и перечислении предметов. К ним не относятся отрицательные и нецелые числа, т.е. рациональные, вещественные и другие. Спонсор размещения P&G Статьи по теме “Что такое натуральное число” Как читать таблицу Менделеева Как перевести

Модуль числа n представляет собой количество единичных отрезков от начала координат до точки n. Причем не важно, в какую сторону будет отсчитываться это расстояние – вправо или влево от нуля. Спонсор размещения P&G Статьи по теме “Как найти модуль числа” Как извлечь из модуля Как вычислить модуль

Возведение числа в степень является одним из простейших алгебраических действий. В обыденной жизни возведение применяется редко, а вот на производстве при выполнении расчетов – практически повсеместно, поэтому полезно вспомнить, как это делается. Спонсор размещения P&G Статьи по теме “Как возвести

    В порядке сферопсидальных (пикнидиальных) грибов в настоящее время насчитывают 750 родов, объединяющих около 6000 видов. У многих представителей этого порядка споровместилища пикниды в виде мелких, едва заметных невооруженным глазом… … Биологическая энциклопедия

    Десмидиевые водоросли характеризуются удивительным разнообразием очертаний, красотой форм. и замечательной симметрией клеток. Водоросли, входящие в состав этого порядка, издавна привлекали к себе внимание не только профессиональных… … Биологическая энциклопедия

    Нитчатые неветвящиеся ярко зеленые водоросли этого порядка чрезвычайно широко распространены в пресных водоемах всех континентов. Даже в холодных ручьях Антарктиды они, хотя и недолго (короткое летнее время), радуют глаз своей изумрудной… … Биологическая энциклопедия

    К этому порядку относится огромное большинство представителей класса протококковых водорослей. Их обычно называют собственно протококковыми водорослями. Они характеризуются наиболее полно выраженной коккоидной структурой тела, т. е.… … Биологическая энциклопедия

    Порядка, м. 1. только ед. Состояние благоустройства и налаженности, систематичность, правильность в расположении чего–н., в ходе дел; противоп. беспорядок. «Привести в порядок впечатления.» Тургенев. В комнате полный порядок. Восстановить порядок … Толковый словарь Ушакова

    Муж. совокупность предметов, стоящих по ряду, рядом, рядком, вряд, сподряд, не вразброс, не враскид, а один за другим; ряд, линия, шеренга, строй; каждая сторона улицы, ряд домов, образует порядок (в петерб. линия). Которым порядком ехать то? Ряд … Толковый словарь Даля

    Спорыньевые образуют перитеции в хорошо развитых стромах, состоящих только из гиф гриба. Стромы обычно мясистые, светло или яркоокрашенные, у некоторых представителей порядка темные. Их форма разнообразна, от распростертых но субстрату… … Биологическая энциклопедия

    У ностоковых трихомы всегда однорядные, всегда с гетероцистами и часто со спорами, не ветвящиеся или ветвящиеся ложно. Они бывают как с влагалищами, так и без них, чаще по одному трихому в каждом влагалище. В порядок входит 9 семейств.… … Биологическая энциклопедия

    Определенная связь между окружающим миром и человеком, характеризующаяся устойчивостью, структурной определенностью, последоват. ходом развития, а также приобретающая для человека смысл и выражающаяся через символы в языке культуры (в… … Энциклопедия культурологии

    В широком смысле слова гармоничное, ожидаемое, предсказуемое состояние или расположение чего либо, а также: порядок в физике расположение атомов, обладающее некоторой инвариантностью относительно сдвига; порядок в биологии один… … Википедия

    Этот порядок сумчатых грибов объединяет несколько сотен видов, большинство из которых развивается на растительном опаде, засохших ветвях и листьях древесных растений, кустарников и кустарничков, а также на травянистых и высших споровых… … Биологическая энциклопедия

Вам также может понравиться…

Источник: https://musicnnov.ru/which-is-an-order-of-magnitude-greater-than-the-standard-form-of-a-number-entry-the-mantissa-of-a-number-the-order-of-the-number.html

Ваш юрист
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: